Родился он в большой семье русского священника, и был четвертым из семерых детей. С самого детства Саша увлекался изобретательством, семье не хватало средств, поэтому учится грамоте он начался лишь в 11 лет, а позже поступил в Далматовскую духовную семинарию, затем перевелся в Екатеринбургское духовное училище, а оттуда в Пермскую духовную семинарию, которую с отличием окончил в 1877г.

Окончив семинарию Попов, переехал в Санкт-Петербург и выдержал экзамены на поступление физико-математический факультет Петербургского университета. Годы учебы нелегко складывались для будущего изобретателя радио, денег не хватало и он подрабатывал электромонтёром в конторе «Электротехник», а все свободное время проводил в физической лаборатории, занимаясь опытами по электричеству. На последних курсах Попов также работал ассистентом на кафедре физики. Именно в эти годы у Александра Степановича окончательно сформировались научные взгляды, особенно его, привлекали проблемы новейшей физики и электротехники.

К окончанию университета в 1882г. Попов подготовил и защитил диссертацию на тему «О принципах магнито- и динамоэлектрических машин постоянного тока», ему предложили остаться при университете и начать подготовку к получению звания профессора.

Но юный гений желал большего, в 1883 он принял предложение занять должность ассистента в Минном офицерском классе в Кронштадте, то было единственное в России заведение, где велись научные изыскания в практическом применении электричества (в морском деле) и имелся хорошо оборудованный физический кабинет.  Именно в Кронштадте он начал изучение электромагнитных волн, которые и завершились изобретением радио. В этот период все свое свободное время Попов посвящал изучению принципов электричества и  физическим опытам, в основном, изучению электромагнитных колебаний. Попов внимательно следил за всеми мировыми открытиями в области энергетики. Десять лет Попов преподавал также в Морском инженерном училище в Кронштадте. 

Занимаясь опытами Герца Попов, изменил их, и нашел наиболее оптимальный индикатор электроволн.  А в 1984г. работая над изучением влияния электричества на проводимость металлов, он сконструировал свой первый когерер для обнаружения электромагнитных волн. Это был усовершенствованный вариант прибора Кальцекки-Онести и Э. Бернулли в виде стеклянной трубы запаленной металлическими опилками и порошком. Когда через трубу походил электрический разряд проводимость металлических опилок резко возрастала.       

Соединив свой прибор с пишущей катушкой братьев Ришар, Попов получил прибор для регистрации электромагнитных колебаний в атмосфере, и назвал его «грозоотметчик», позже его стали  использовать в Лесном институте.

Постепенно Попов улучшал свой прибор и к началу 1895 его «грозоотметчик» позволял надежно регистрировать приближающуюся грозу  на расстоянии до 30 км. В это устройство входили когерер — механизм со звонком для автоматического восстановления восприимчивости когерера встряхиванием, реле, приводившее в действие звонок, и специальная приемная антенна в виде длинного вертикального провода. То был прототип первой радиостанции.  

Работа в военном морском ведомстве наложило целый ряд ограничений и  запретов на публикацию результатов его работ, поэтому, соблюдая данное обещание о неразглашении сведений, составляющих секретную информацию, Попов не стал публиковать новых своих работ. Но выступая с докладом в электротехническом институте, Попов говорил «Мы создали прибор для радиотелеграфирования, но не сумели послать телеграмму, потому что нет необходимой практики, и требуется собрать много других приборов для этого».

Вскоре результат был достигнут, подсоединив  к своему аппарату телеграф Попов, сумел послать слова «Генрих Герц» на расстояние 250 км. От химической лаборатории в Кронштадте, где располагался передатчик до приемника в физической лаборатории в Петербурге. Этот опыт был проведен 24 марта 1896г. то есть задолго до опыта Маркони, который оспаривает у Попова первенство в изобретении радио. Но как часто бывает в России, Попов не запатентовал свое изобретение, в отличие от своего заокеанского коллеги, и лавры пионера миновали его стороной, хотя первым был действительно он.

Попов постепенно наращивал не только расстояние радиосвязи, но и пытался использовать свое  изобретение для самых различных отраслей. Так в 1897 он смог осуществить радиосвязь между морским судном и землей. Грандиозной победой прибора ознаменовалось спасение рыбаков унесенных в море на льдине. Переданная на 44 км. радиограмма позволила вовремя выйти ледоколу и спасти человеческие жизни. Работу Попова отметили в Европе золотой медалью. Попов вернулся домой удрученный тем, что в Европе уже имелась налаженная радиопромышленность, работы в России в этом направлении только-только начинались, отставание было критическим. Это доказал и то факт что в преддверии русско-японской войны командование было вынуждено закупить столь необходимое оборудование за рубежом.

Вскоре у Попова обострились отношения с руководством морского ведомства, т в 1901г. он вернулся в Петербург, где занял предложенное место профессора в Электротехническом институте, позже он стал его директором. Но большой объем возложенных на него обязанностей подточили здоровье ученного и 31 декабря 1905 он умер от кровоизлияния в мозг.                  

Даже став крупным ученным, с мировым именем Попов сохранил главные черты характера, он был скромен в быту и в общении  с людьми, внимательно слушал чужое мнение, всегда готов был помочь и словом и делом, слыл чутким и очень добрым человеком.          

Его работы по радиоэлектронике и связи кораблей не могли не привлечь внимания иностранных военных и деловых кругов. Он получал бесчисленное количество предложение для работы в странах Европы и США, и каждый раз, решительно отказывался. Попов был горячим патриотом своей страны, он говорил, что гордится тем, что он родился русским, и если не при его жизни, то его потомки оценят его верность родине и тот факт что именно в России, а не в другой стране открыта радиосвязь.    

Именем Попова позже нарекли малую планету, объект ландшафта на Луне, несколько музеев, учебные заведения, корабли, премии, медали и дипломы. Его имя также носят несколько улиц. Ему воздвигнуты памятники в Санкт-Петербурге, Екатеринбурге и других городах.